Question

如何证明梅森数问题， 若Mp为素数,则p为素数。（Mp为形如2^p-1的数） 谢谢！

Answer 1

关注梅森数的人群很广泛，因而并不清楚你数学功底，因而我稍微详细一些。

首先需要证明的是，x^n-1＝(x-1)·(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+……+x^2+x+1)
方法一：用初中数学因式分解的添项法即可证明；
方法二：用等比数列求和公式求解x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+……+x^2+x+1即可；
方法三：利用多项式根的性质，x=1显然是x^n-1＝0的根，因而，x-1是它的因式，用多项式竖式除法计算(x^n-1)÷(x-1)即可；
方法四：一时半会儿没想起来，总之好多办法来证明。

而这个方法对于解题暂时还木有用，因为，当x取2时，2^p-1分解出(2-1)这个因子无非只是分解出1，因子1对这个数是否是素数起不到任何作用。因而我们需要将x变得比2要大一些才好。

需要注意到的是，上面的式子中，只需n∈Z+，而x并未明确地定义，可以推测，这个式子是定义在几乎任何数域上的任意取值均可成立的（暂时没想到反例）。当然，是否n∈Z+必须满足也不再此题讨论范围之内。

因而可以使用函数来替换。
设f(x)＝x^n-1＝(x-1)·(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+……+x^2+x+1)
那么，
f(x^m)＝(x^m)^n-1＝(x^m-1)·((x^m)^(n-1)+(x^m)^(n-2)+(x^m)^(n-3)+……+(x^m)^2+(x^m)+1)

于是，我们可以发现，
(x^m)^n-1＝x^(m·n)-1有一个因式为x^m-1

回到问题，
【假若p不是素数】，则它一定存在一种非平凡分解式，（也就是除去p＝1·p的形式）
不妨取p的某一种非平凡分解式p＝m·n
那么，
2^p＝2^(m·n)-1＝(2^m-1)·(…………括号内请参照上面的自行填写…………)
此时，显然2^m-1≠1，因而，
2^p存在一个不为1的因子：2^m-1
于是，此种情况下，【2^p不是素数。】

注意到上面两个【】内的话，连起来即可。
反证完毕。
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以上。

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