Question

对于任何实数a,b成立不等式 |a+b|/1+|a+b|<=|a|/1+|a| +|b|/1+|b| 急求啊~~~

Answer 1

易知f(x)=x/(1+x)在[0，+∞）上单调递增
又|a+b|<=|a|+|b|
所以f(|a+b|)<=f(|a|+|b|)
即：
|a+b|/(1+|a+b|)<=(|a|+|b|)/(1+|a| +|b|)
而(|a|+|b|)/(1+|a| +|b|)
=|a|/(1+|a| +|b|)+ |b|/(1+|a| +|b|)
<=|a|/(1+|a|) +|b|/(1+|b|)
故原不等式成立，证毕。

Answer 2

首先构造函数f(x)=x/(1+x) (x≠-1)
因为，f'(x)=1/(1+x)²>0
所以，函数f(x)=x/(1+x) 在其定义域x≠-1内为单调递增函数
所以设，x1=|a|+|b| , x2=|a+b|
因为，|a|+|b|>=|a+b|》0 即，x1>=x2
所以，f(x1)>=f(x2)
即，x1/(1+x1)>=x2/(1+x2)
所以，(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)>=|a+b|/(1+|a+b|)
即：|a+b|/(1+|a+b|)<=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)