Question

设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f''(x)>0则 f'(1)，f'(0)，f(1)-f(0) 这3式子比较大小，谢谢了！！

希望有过程.

Answer 1

证明：
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0
∴f(0)=0*f(0)=0,
f(1)=f(1)=0
由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1，使f'(ξ1)=0又f'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴f'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴f'(0)=f'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知在(0,ξ1),
即(0,1)内至少存在一点m，使f''(m)=0
证毕

Answer 2

f''(x)>0

所以
f'(x)是增函数
而
由拉格朗日中值定理有
存在e∈（0,1），使得
f'(e)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=f(1)-f(0)
0<e<1
所以
f'(0)<f'(e)<f'(1)
即f'(1)>f(1)-f(0) >f'(0)