Question

微分方程 详细步骤

Answer 1

解：设时间为x分钟，且x分钟时，桶内有糖y千克
根据题意可得微分方程，有
dy/dx=5×0.05-3y/(1000+5x-3x)，y'=0.25-3y/(1000+2x)，(1000+2x)√(1000+2x)y'+3y√(1000+2x)=0.25(1000+2x)√(1000+2x)，[y(1000+2x)√(1000+2x)]'=0.25(1000+2x)√(1000+2x)，y(1000+2x)√(1000+2x)=0.05(1000+2x)²√(1000+2x)+c(c为任意常数)，y=0.05(1000+2x)+c/[(1000+2x)√(1000+2x)]
当x=0时，y=5，则5=50+c/10000√10，得：c=-450000√10，微分方程的特解为y=0.05(1000+2x)-450000/[(1000+2x)√(1000+2x)]；当x=20时，y=52-450000/1040√1040

Answer 2

Answer 3

采用微元法来建立数学模型，设想在t时刻后的dt时段内：（t=0时即为起始时溶液，含糖量为5千克）
【考虑从t到t+dt时段，因为糖水时刻都是均匀，加入的糖分会立即分散到溶液中，计算时先考虑加入溶液，再考虑放出溶液】
开始的t时刻溶液体积为：1000+5t-3t=1000+2t，并记此时溶液中含糖x千克。
该时段加入的糖溶液体积为5dt，其中含糖量为0.05×5dt=0.25dt
加入糖水后的浓度为：
(x+0.25dt)/[(1000+2t)+5dt]
根据题意可知dt时段内放出糖水3dt升，所以放出的糖等于：
(x+0.25dt)×(3dt)/[(1000+2t)+5dt]【为方便书写记为A】
综上dt时间后溶液含糖量的增量dx为：
dx=(x+0.25dt-A)-x=0.25dt-A=0.25dt-(x+0.25dt)×(3dt)/[(1000+2t)+5dt]
整理得到：
dx/dt=[0.5t-3x+250+0.75dt]/[1000+2t+5dt]
注意右边式子中dt与t相比极小，略去无穷小量dt得到：
dx/dt=(0.5t-3x+250)/(1000+2t)
初始条件为：x(0)=5
字数有限，剩下的解方程步骤就留给题主自己解决了。

Answer 4

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