Question

已知函数f(x)=a^x,g(x)=(a^2x)+m,其中m>0,a>0且a不等于1，当X属于[-1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值的和

已知函数f(x)=a^x,g(x)=(a^2x)+m,其中m>0,a>0且a不等于1，当X属于[-1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值的和为5/2。
（1)求a的值；
（2）若a>1,记函数h(x)=g(x)-2mf(x),求当a属于[0,1]时h(X)的最小值H(m);
(3)若a>1,且不等式|[f(X)-mg(X)]/f(x)|小于等于1在x属于[0,1]恒成立，求m得值。

Answer 1

(1)由幂函数的规律可得，f(x)为单调函数，单调函数在闭区间上的最值为其端点函数值。
∴f(1)+f(-1)=5/2
即1/a +a=5/2
解得a=2或1/2
(2)易得a=2。解读：题干中出现H(m)，相当于把m看成是常数，故所求的h(x)的最小值是含m的代数式(相当于一个常数)，即这个最小值与m有关，所以这个最小值可以表示为H(m)，（含义是“与m有关的代数式”）
题干打错了？应该是“当x属于[0,1]”吧？
h(x)=2^2x-2m2^x+m，设2^x=t
∵x∈[0,1]
∴t∈[1,2]
h(x)=F(t)=t^2-2mt+m，(t∈[1,2])(将此函数简化为2次函数，h(x)与F(t)等效，开始讨论对称轴：t=m)
当0<m<1时，F(t)min=F(1)=1-m
当1≤m≤2时，F(t)min=F(m)=m-m^2
当m>2时，F(t)min=F(2)=4-3m
综上所述：
H(m)={
1-m，(0<m<1)
m-m^2，(1≤m≤2)
4-3m，(m>2)
(3)易得a=2
由|[f(X)-mg(X)]/f(x)|≤1在x∈[0,1]恒成立得：
|1-m(2^x + m/(2^x))|≤1在x∈[0,1]恒成立，设2^x=t，则t∈[1,2]
即：|1-m(t + m/t)|≤1在t∈[1,2]恒成立
∵m>0
∴由绝对值不等式性质得：
0≤m(t + m/t)≤2在t∈[1,2]恒成立

（等价为：函数w(t)=m(t + m/t)在t∈[1,2]上的最大值小于等于2，最小值大于等于0）

对于左侧恒成立不等式m(t + m/t)≥0，有：
∵m>0
∴由对勾函数性质得：m(t + m/t)≥0在t∈[1,2]本来就恒成立
故解得m>0
对于右侧恒成立不等式m(t + m/t)≤2，有：
【解释：处理恒成立不等式时，最简便快捷的方法一般是分离变量法，对于此题，即用含t的代数式表示m，恒等变形为“m≤w(t)恒成立（或m≥w(t)恒成立）”，求出函数w(t)的值域，进而得出m的取值范围。但针对此题，无法对m进行分离变量，因为含有m的2次项，故我在此采用分类讨论法(可能不是最佳方法)。】
“m(t + m/t)≤2恒成立”等价为“函数w(t)=m(t + m/t)在t∈[1,2]上的最大值小于等于2”
以下求解皆需用对勾函数性质
由对勾函数性质得：函数w(t)=m(t + m/t)在t∈[1,2]上的最大值不是w(1)就是w(2)
当w(1)为最大值时：即当1 + m/1≥2 + m/2，即m≥2时，欲使上述不等式恒成立
即w(1)≤2
即m(1 + m)≤2
解得-2≤m≤1，(但此前提是m≥2)
故无解
当w(2)为最大值时：即当1 + m/1<2 + m/2，即0<m<2时，欲使上述不等式恒成立
即w(2)≤2
即m(2 + m/2)≤2
解得-2-2√2≤m≤-2+2√2，（但此前提是0<m<2）
故解得0<m<2√2-2
故解右侧恒成立不等式得0<m<2√2-2
又∵解左侧恒成立不等式得m>0
∴综上所述，0<m<2√2-2即为所求

Answer 2

1、a>0，f(x)随x增大而增大，则a^(-1)+a^1=5/2即1/a+a=2.5
a=2或a=0.5
2、若a>1，则a=2，h（x）=2^2x+m-2m*2^x=(2^x)^2-2m*(2^x)+m=(2^x-m)^2+(m-m^2)
（问题有误，是不是m属于[0,1]时），最小值为m-m^2=0
3、若a>1，则a=2，取y=2^x，则y属于[1,2]时不等式恒成立
不等式为-1<=[y-m*(y^2+m)]/y<=1即-2<=my+(m^2)/y<=0则（因y>0，不等式前半部分变为m*（y+1/m）^2+m^2-1/m>=0；后半部分变为m*y^2+m^2<=0）解得（前半部分恒成立；后半部分m>=-2）
结果m>=-2

追问

问题是没错的，这是七中的一次考试题。拜托了。很急。谢谢

追答

第二体 前面（若a>1）后面a属于[0,1]矛盾