√2是无理数的证明方法
√2是无理数的几种证明方法如下：
方法1. 反证法:
假设√2=p/q, 这里p,q 都是正整数，且他们之间不存在约数。等式两边平方可以得到2q*q = p*p。通过分析这个等式，可以知道等式两边都是偶数。因为偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数， 所以p肯定是偶数。
若q也是偶数，则p, q有一个共因子2，与假设矛盾。若q是奇数， q*q也是奇数，则等式左边不能被4整除， 等式右边能够被4整除，矛盾。所以， √2不能是有理数， 只能是无理数。
方法2. 利用因式分解的唯一性：
若2q*q = p*p成立，可以看出等式右边的因式分解，所有的因式的个数都是偶数倍，而等式左边的因式分解的个数存在奇数倍的情况，矛盾。所以， √2不能是有理数， 只能是无理数。
方法3. 辗转相除法：
图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。
接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。
于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。
所以，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。这样就证明了BD（可以是√2或者其他等腰直角三角形的斜边长）只能是无理数了。
方法4：奇偶分析法：
假设√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1,a和b都是正整数。
根据2*b*b可以推得a是一个偶数，我们可以设置a=2c。
4*c*c=2*b*b得到 b*b=2*c*c，可以得到b也是偶数。
a,b都是偶数，这和(a,b)=1相矛盾。
方法5：尾数证明法：
假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，就开始证明了。
√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b。
从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是 (0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解。
2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数。
因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0。
因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)。
按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。
