已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(-1/2+x)=f(-1/2-x),令g(x)=f(x)-|λx-1...
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(-1/2+x)=f(-1/2-x),令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0).
(1)求函数f(x)的表达式和函数g(x)的单调区间;
(2)研究函数g(x)在区间 (0,1)上的零点个数。 展开
(1)求函数f(x)的表达式和函数g(x)的单调区间;
(2)研究函数g(x)在区间 (0,1)上的零点个数。 展开
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根据f(-1/2+x)=f(-1/2-x)可以知道f(x)关于x=-1/2对称,即f(x)=a(x+1/2)^2+k,
由f(0)=0,知a/4+k=0
然后由对于任意x∈R都有f(x)≥x,可知a(x+1/2)^2-x+k≥0,对任意x恒成判型立,
即ax^2+(a-1)x≥0恒成立。
则x(ax+a-1)≥0,显然a=1(必须要a-1=0,且a>0,所以求得这个值)
即f(x)=x^2+x
则g(x)=x^2+x-|λx-1|,然后分情况讨论x的取值去绝对雹裂值,即当x>1/λ时和x<1/λ时两种情况。具体的我就不算了。因为表达式有了单调区间很好算。
第二问就要讨论λ的取值了,首先当0<λ≤1时,由于1>x>0,源冲闭所以x<1/λ,直接去绝对值。然后讨论零点。
当λ>1时分两段即1>x>1/λ,和0<x<1/λ,分别去绝对值计算。
如果你学过导数的话,第二问有更简单的方法,这里就不多说了。
由f(0)=0,知a/4+k=0
然后由对于任意x∈R都有f(x)≥x,可知a(x+1/2)^2-x+k≥0,对任意x恒成判型立,
即ax^2+(a-1)x≥0恒成立。
则x(ax+a-1)≥0,显然a=1(必须要a-1=0,且a>0,所以求得这个值)
即f(x)=x^2+x
则g(x)=x^2+x-|λx-1|,然后分情况讨论x的取值去绝对雹裂值,即当x>1/λ时和x<1/λ时两种情况。具体的我就不算了。因为表达式有了单调区间很好算。
第二问就要讨论λ的取值了,首先当0<λ≤1时,由于1>x>0,源冲闭所以x<1/λ,直接去绝对值。然后讨论零点。
当λ>1时分两段即1>x>1/λ,和0<x<1/λ,分别去绝对值计算。
如果你学过导数的话,第二问有更简单的方法,这里就不多说了。
追问
学过导数的,用导数怎么解呢?
追答
导数的话,就是这个方程x^2+x=|λx-1|有解。等价于(x^2+x)^2=(λx-1)^2有解。
即就是求
h(x)=(x^2+x)^2-(λx-1)^2的零点个数。直接求导判断在0<x<1这个区间的单调性。以此确定大致图像来判断零点个数。其实这个跟第一问的那个问题是相关的,只不过上一问没要求范围
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