Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且

已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0).
（1）求函数f(x)的表达式和函数g(x)的单调区间；
（2）研究函数g(x)在区间 （0,1）上的零点个数。

Answer 1

根据f(-1/2+x)=f(-1/2-x)可以知道f（x）关于x=-1/2对称，即f（x）=a（x+1/2）^2+k，
由f（0）=0，知a/4+k=0
然后由对于任意x∈R都有f(x)≥x，可知a（x+1/2）^2-x+k≥0，对任意x恒成立，
即ax^2+(a-1)x≥0恒成立。
则x（ax+a-1）≥0，显然a=1（必须要a-1=0，且a>0，所以求得这个值)
即f（x）=x^2+x
则g（x）=x^2+x-|λx-1|，然后分情况讨论x的取值去绝对值，即当x>1/λ时和x<1/λ时两种情况。具体的我就不算了。因为表达式有了单调区间很好算。
第二问就要讨论λ的取值了，首先当0<λ≤1时，由于1>x>0，所以x<1/λ，直接去绝对值。然后讨论零点。
当λ>1时分两段即1>x>1/λ，和0<x<1/λ，分别去绝对值计算。
如果你学过导数的话，第二问有更简单的方法，这里就不多说了。

追问

学过导数的，用导数怎么解呢?

追答

导数的话，就是这个方程x^2+x=|λx-1|有解。等价于（x^2+x）^2=(λx-1)^2有解。
即就是求
h（x）=（x^2+x）^2-(λx-1)^2的零点个数。直接求导判断在0<x<1这个区间的单调性。以此确定大致图像来判断零点个数。其实这个跟第一问的那个问题是相关的，只不过上一问没要求范围