Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x²/a.²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x²/a.²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F1F2，右顶点，上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab，若椭圆C离心率为根号6/3，求方程

Answer 1

由已知：A(a，0)，B(0，b)
∴设直线AB为y=kx+b
则k•a + b=0，k=-b/a
∴直线AB为：(-b/a)x - y + b=0
则原点到直线AB的距离是
|0 - 0 + b|/√(-b/a)² + (-1)²
=|b|/√(b²/a²) + 1=ab
即：|b|=ab√(b²/a²) + 1
两边平方：
b²=a²b²(b²/a² + 1)
1=a²(b²/a² + 1)
1=b² + a²......①
∵椭圆的离心率是√6/3
∴c=(√6/3)a
则a²=b²+c²=b² + 6a²/9
∴a²/3=b²....②
将②代入①：a²/3 + a²=1
∴a²=3/4
则b²=1/4
∴椭圆方程为：
x²/(3/4) + y²/(1/4)=1