Question

已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)

(1)求f(x)在（-1,1）上的解析式；
(2)证明：f(x)在（0，1）上是减函数。

Answer 1

（1）设x∈(-1,0)，则-x∈(0,1)f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)=2^x/(4^x+1)，
因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-2^x/(4^x+1)
所以f(x)是一个分段函数，当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)，当x∈(-1,0)，f(x)=-2^x/(4^x+1)
（2）设x1,x2∈(0,1)，且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2^(x1)/(4^(x1)+1)-2^(x2)/(4^(x2)+1)
=(2^(x1+x2)-1)(2^(x2)-2^(x2))/(4^(x1)+1)(4^(x2)+1)
因为0<x1<x2<1，所以x1+x2>0，即2^(x1+x2)>1,2^(x2)>2^(x2),(4^(x1)+1)(4^(x2)+1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0,因此f(x)在（0，1）上是减函数

Answer 2

1