Question

如图一，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE垂直于BF于点G，且BE=1。

（1）求证：△ABE全等于△BCF
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即BEG）的面积
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'（如图二），使点E落在CD边上的点E'处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由。

Answer 1

⑴证明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=900 ，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=900，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=900，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF.
⑵解：∵正方形面积为3，∴AB=√3，
在△BGE与△ABE中， ∵∠GBE=∠BAE, ∠EGB=∠EBA=900
∴△BGE∽△ABE
∴S△BGE/S△ABE=(BE/AE)^2，
又BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4
∴SBGE=S△ABE*(BE/AE)^2= (1/4)* √3/2=√3/8
⑶解：没有变化 ∵AB=√3，BE=1，∴tan∠BAE=1/√3,∠BAE=30°,
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H,
则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共，
∴△BAG≌△HAG,
∴S四边形GHE'B'=S△AB'E'-S△AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.
解答完毕，请指教

Answer 2

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF．…(4分)
(2)解：∵正方形面积为3，
∴AB=，…(5分)
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，…(7分)
∴，
又∵BE=1，
∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，
∴S△BGE=×S△ABE==．…(8分)
(3)解：没有变化． …(9分)
理由：∵AB=，BE=1，
∴tan∠BAE==，∠BAE=30°，…(10分)
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG，…(11分)
∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．…(12分)

解析： 分析： (1)由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
(2)由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
(3)首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用