Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是BC延长线上一点，

与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）过P做PE⊥AB与E，连接PQ交AB于D。当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化请说明理由

。

Answer 1

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=12QC，即6-x=12（6+x），解得x=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，∠A=∠FBQAP=BQ∠AEP=∠BFQ​
∴△APE≌△BQF（ASA），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=12EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=12AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

Answer 2

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=12QC，即6-x=12（6+x），解得x=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中， ​​
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=
12
EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=12AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

Answer 3

：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=
12
QC，即6-x=
12
（6+x），解得x=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
∠A=∠FBQAP=BQ∠AEP=∠BFQ​

∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=
12
EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=
12
AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

Answer 4

过P点作PF∥BC，交AB于F点
∴△ABC∽△AFP
∵△ABC是等边三角形
∴△AFP是等边三角形
∴AP=FP=AF
∴△DFP≌△DQB
∴BD=DF
∵△AFP是等边三角形,PE⊥AB
∴PEAF
∴AE=FE
∵AB=AE+EF+FD+DB=2EF+2FD=2DE
∴DE=1/2AB
∵AB=6
∴DE=1/2×6=3

追问

AP等于几？

Answer 5

解法一：过P 作PE ∥QC
则△AFP是等边三角形，
∵P 、Q 同时出发、速度相同，即BQ=AP
∴BQ=PF
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF
∵,
∴BD=DF=FA=,
∴AP=2.
解法二： ∵P 、Q 同时同速出发，
∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x
在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°
∴∠CQP=90°
∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）
∴x=2
∴AP=2
（2）由（1 ）知BD=DF而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF,
∵AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(DF+EF)=6 ，
即DE+DE=6
∵DE=3 为定值，即DE 的长不变