Question

如图，三角形ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A,C不重合），Q是CB延长线上一

如图，三角形ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A,C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）过P作PE垂直AB于E，连接PQ交AB于D。
（1）当角BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由。

Answer 1

（1）首先，AP=BQ，当∠BQD=30°时，△PQC是直角三角形，设AP=BQ=x，那么，QC=2PC，即6+x=2（6-x），解方程x=2，即AP=2。
（2）DE长度不变，为3。设AP=x，则AE=0.5x，BD=6-DE-0.5x，过D做DF平行AC交BC于F，则△QDF相似于△QPC，其中△BDF为正三角形。三角形相似，对应边成比例，可得QC/CF=PC/DF，即（6+x）/（6-6+DE+0.5x）=（6-x）/（6-DE-0.5x），化简可消去x，得到DE=3。