Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左焦点为F,上顶点为的直线分别交

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与X轴正半轴于p,Q,如图，且向量AP=8/5向量PQ
（1）求椭圆C离心率
（2）若过A。Q。F三点的圆恰好与直线L：x+根号3y+3=0相切，求椭圆C的方程

Answer 1

⑴设Q（x0，0），
F（-c，0）A（0，b）， FA=(c，b)，AQ=(x0，-b)
∵ FA⊥AQ，
∴ cx0-b2=0，x0=b2/c
P（x1，y1），
AP=8/5PQ
x1=8b2/13c，y1=5/13b
P在椭圆上
(8b2/13c)2/a2+(5/13b)2/b2=1
2b2=3ac，
⑵（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，
e= 1/2．
（2）F（- 1/2a，0）Q (3/2a，0)，
圆心（ 1/2a，0），r= 1/2|FQ|=a
|1/2a+3|/2=a，
a=2，
∴c=1，b= √3，
x2／4+y2／3=1