Question

高中数学 求具体过程

定义在R上的函数f（x）满足，对于任意实数a，b总有f（a+b）=f（a）*f（b），当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=1/2

（1）证明函数f（x）在R上为减函数
（2）解关于x的不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7）＞1/4（k∈R）
（3）若x∈【-1，1】，求证 （8的k次幂+27的k次幂+1）/3≥【6的k次幂*f（x）】/2（k∈R）

Answer 1

（1）=1/2
（1）证明函数f（x）在R上为减函数
（2）解关于x的不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7）＞1/4（k∈R）
（3）若x∈【-1，1】，求证 （8的k次幂+27的k次幂+1）/3≥【6的k次幂*f（x）】/2（k∈R）
(1)证明：∵定义在R上的函数f（x）满足，f（a+b）=f（a）*f（b），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=1/2
设x1,x2∈R,且x1<x2
∴x2-x1>0
∴0<f(x2-x1)<1
∵f(x)>0==>f(x2)>0==>f(x2)=f(x2+x1-x1)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)*f(x2-x1)
∴f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)<1
∴f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在R上单调递减；
(2)解析：∵不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7)>1/4（k∈R）, f（1）=1/2
∴f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7)= f(kx²-5kx+6k-x²+6x-7)>1/4=f(1)*f(1)
F[(k-1)x²+(6-5k)x+6k-7]>1/4=f(1)*f(1)=f(2)
(k-1)x²+(6-5k)x+6k-7<2
(k-1)x²+(6-5k)x+6k-9<0
当k=1时，x<3
当k>1时，(2k-3)/(k-1)<x<3
当k<1时，x<(2k-3)/(k-1)或x>3

Answer 2

定义在R上的函数f（x）满足，对于任意实数a，b总有f(a+b)=f(a)*f(b)，当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=1/2
（1）证明函数f（x）在R上为减函数
（2）解关于x的不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7）＞1/4（k∈R）
（3）若x∈【-1，1】，求证 （8的k次幂+27的k次幂+1）/3≥【6的k次幂*f（x）】/2（k∈R）
(1)证明：∵定义在R上的函数f（x）满足，f（a+b）=f（a）*f（b），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（1）=1/2
设x1,x2∈R,且x1<x2
∴x2-x1>0
∴0<f(x2-x1)<1
∵f(x)>0==>f(x2)>0==>f(x2)=f(x2+x1-x1)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)*f(x2-x1)
∴f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)<1
∴f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在R上单调递减；
(2)解析：∵不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7)>1/4（k∈R）, f（1）=1/2
∴f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7)= f(kx²-5kx+6k-x²+6x-7)>1/4=f(1)*f(1)
F[(k-1)x²+(6-5k)x+6k-7]>1/4=f(1)*f(1)=f(2)
(k-1)x²+(6-5k)x+6k-7<2
(k-1)x²+(6-5k)x+6k-9<0
当k=1时，x<3
当k>1时，(2k-3)/(k-1)<x<3
当k<1时，x<(2k-3)/(k-1)或x>3

Answer 3

这不是指数函数的背景函数吗？例如2的（a+b）的次幂等于2的a次幂乘以2的b次幂。比如第一问，由于a+1》a ，，0＜f（x）＜1，f（1）=1/2，
f（a+1）|f（a）=f（a）f（1）|f（a）=0.5<1故为减函数。
由于符号我不会打，故详解我打不了。你照这个背景函数想应该没有问题。