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高等数学 讲二重积分中值定理的 几何意义(我不是很确定) 的时候 老师画了个图2这样的图，说 交线

高等数学 讲二重积分中值定理的 几何意义(我不是很确定) 的时候 老师画了个图2这样的图，说 交线上的点在区域D上的投影 都符合条件，为什么是交线上？还有这个定理和微分中值定理推导什么的一点关系都没有吗？跪求大神解答！！

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Answer 1

这种非常数函数的二重积分可以理解为体积积分，被积函数为物体垂直于被积投影面积的高度函数。
鉴于给定物体的体积为固定值，且根据函数的连续性定义，物体体积可以表达为投影面积与垂直于投影面积σ的物体高度的平均值的乘积。
考虑到被积分函数的连续性，显然至少存在1个点满足高度函数值等于高度平均值。
为便于理解，现在将高度平均值视为平行于投影面积的平面，则该平面与被积高度函数所构成的曲面必然存在一个封闭的交线，该交线既满足高度平均值所决定的平面方程，同时也满足高度函数方程。
亦即该交线上的所有点，都满足积分中指定理中等式右边方程。