如图三角形abc中,角ABC=3角c,AD是角BAC的角平分线,BE⊥AD于点E,求证:BE=½(AC-AB)
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证明：延长BE，交AC于F
用角边角（ASA）（角平分线两边的角，角平分线是公共边，两个直角（延长之后，直角和旁边的角互补（相加180°）直角是90°，所以另一个角也90°，所以两个角相等））
∴AB=AF，角ABF=角AFB，BE=FE
∵BE+FE=BF
∴BF=2BE
∴AC-AB=AC-AF=CF
∵角ABF+角CBF=角ABC
∴角AFB+角CBF=角ABC
∵角AFB=角CBF+角C（外角）
∴角ABC=角CBF+角C+角CBF
∵角ABC=3角C
∴2角CBF=2角C
∴角CBF=角C
∴BF=CF（等角对等边）
∴CF=2BE
∴AC-AF=2BE
∴AC-AB=2BE
即BE=1/2（AC-AB）
用角边角（ASA）（角平分线两边的角，角平分线是公共边，两个直角（延长之后，直角和旁边的角互补（相加180°）直角是90°，所以另一个角也90°，所以两个角相等））
∴AB=AF，角ABF=角AFB，BE=FE
∵BE+FE=BF
∴BF=2BE
∴AC-AB=AC-AF=CF
∵角ABF+角CBF=角ABC
∴角AFB+角CBF=角ABC
∵角AFB=角CBF+角C（外角）
∴角ABC=角CBF+角C+角CBF
∵角ABC=3角C
∴2角CBF=2角C
∴角CBF=角C
∴BF=CF（等角对等边）
∴CF=2BE
∴AC-AF=2BE
∴AC-AB=2BE
即BE=1/2（AC-AB）
参考资料： by myself(我自己)
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