Question

这个怎么证明？

Answer 1

证明：
在一元函数中，可导比可微，可微比可导，因此，只要证明x=0时，f(x)可导即可！

根据题意，可得：
当x=0时：
|f(0)|≤0
显然，f(0)=0
又因为：
f'(0)
=lim(△x→0) [f(△x)-f(0)]/△x
=lim(△x→0) f(△x)/△x
根据已知：
-x² ≤f(x)≤x²
当x≠0时：
-x ≤ f(x)/x ≤x
因此：
-△x ≤ f(△x)/△x ≤△x
又：
lim(△x→0) -△x =0
lim(△x→0) △x =0
根据夹逼准则，
lim(△x→0) f(△x)/△x =0
即：f'(0)存在，
根据可微和可导的关系易知，f(x)在x=0比可微
根据上述求证可知，
f'(0)=0