Question

已知斜率为1的直线 l 与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A,B两点，原点O在以AB为直径的圆上，求直线AB的方程

Answer 1

设直线 L 的方程为 y=x+m ，
代入椭圆方程得 x^2/4+(x+m)^2=1 ，
化简得 5x^2+8mx+4m^2-4=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2= -8m/5 ，x1*x2=(4m^2-4)/5 ，
因此 y1*y2=(x1+m)*(x2+m)=x1*x2+m(x1+x2)+m^2=(m^2-4)/5 ，
由于以 AB 为直径的圆过原点，因此 OA丄OB ，
即 x1x2+y1y2=0 ，
所以 (4m^2-4)/5+(m^2-4)/5=0 ，
解得 m=±2√10/5 ，
所以，直线 AB 的方程为 y=x±2√10/5 。