Question

[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求？（答案是-e/2)

Answer 1

解：lim(x→0)((1+x)^(1/x)-(1+2x)^(1/2x))/sinx

=lim(x→0)((1+x)^(1/x)-(1+2x)^(1/2x))/x

=lim(x→0)(e^(ln(1+x)/x)-e^(ln(1+2x)/2x))/x

=lim(x→0)(e^(ln(1+2x)/2x)*(e^(ln(1+x)/x-ln(1+2x)/2x)-1))/x

=e*lim(x→0)(e^(ln(1+x)/x-ln(1+2x)/2x))/x

=e/2

扩展资料：

1、极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

2、极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

正确的答案应该是：
（1+x)^1/x取对数，泰勒展开ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2),所以ln(1+x)/x=1-x/2+o(x);
同理，ln(1+2x)/2x=1-x+o(x).
所以lim[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx
=lime×{e^(-x/2+o(x))- e^(-x+o(x))}/x
=lime×{[e^(-x/2+o(x))-1]/x +[1- e^(-x+o(x))]/x}
=lime×{[ -x/2+o(x)]/x -[-x+o(x))]/x}
= e×{ -1/2+1 }=e/2
(因为（1+1/n）^n是递增数列，所以（1+x)^1/x是递减函数，所以原答案是错误的)

Answer 3

x→0时sinx∽x,ln(1+x)∽x,(1+x)^(1/x)→e,
∴原式→{e^[(1/x)ln(1+x)]-e^[1/(2x)*ln(1+2x)]}/x
→{(1+x)^(1/x)*[(-1/x^)ln(1+x)+1/(x(1+x))]-(1+2x)^[1/(2x)]*[-1/(2x^)*ln(1+2x)+1/(x(1+2x))]
→e*[-1/x+1/(x(x+1))]-e[-1/x+1/(x(1+2x))]
→e[-1/(1+x)+2/(1+2x)]
→e/[(1+x)(1+2x)]
→e.
答案和您给的不一样，请检查。

追问

第二行就没没看懂，(-1/x^)是什么意思，能写清楚点吗？谢谢了~

追答

第二行用对数恒等式。
x^=x^2.