Question

如图,在△ABC中,BA=BC,∠BAC=a,M是AC中点,P是线段BM上的动点,线段PQ=PA,∠APQ=2a.

Answer 1

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且

PQ=QD，请直接写出α的范围

（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，AM=MC，

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，

∴AM=MQ，∠AMQ=120°，

∴CM=MQ，∠CMQ=60°，

∴△CMQ是等边三角形，

∴∠ACQ=60°，

∴∠CDB=30°；

(2)连接PC，AD，

∵AB=BC，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，

在△APD与△CPD中，

∵

   AD=CDPD=PDPA=PC     

，

∴△APD≌△CPD，

∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，

又∵PQ=PA，

∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，

∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，

∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，

∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，

∴2∠CDB=180°-2α，

∴∠CDB=90°-α；

(3)延长BM，CQ交于点D，

∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，

∵点P不与点B，M重合，

∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，

∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，

∴2α＞180°-2α＞α，

∴45°＜α＜60°．

Answer 2

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且
PQ=QD，请直接写出α的范围

（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；
(2)连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵
AD=CDPD=PDPA=PC
，
∴△APD≌△CPD，
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；
(3)延长BM，CQ交于点D，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．

Answer 3

同意楼上的