Question

概率分布函数有不可导点，如何求该点的概率密度

是不是等于该点的概率P{X=a}？
比如
x<-1时 F(x)=0
x=-1时 F(x)=1/8
-1<x<1时 F(x)=5x/16+7/16
x<=1时 F(x)=1
求f(x)
我知道在x<-1时，-1<x<1时，x<=1时可以直接求导
那么x=-1和x=1处的f(x)怎么求？
是不是计算P{x=-1}和P{x=1}？
这里用分段函数求导没用吧？因为x=-1和x=1处都不可导，对吗

Answer 1

对于不连续的点，当然不能使用导数来求解。这是可导的必要条件。现在我们求取的某点的概率密度。对于连续的点，单点取值为0，即p{X=a}=0。

对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，有

则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。

可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

概率密度是分布函数的导数：

1、若G的概率密度分布函数为g(x),α为常数。

则αG的分布概率密度函数为[g(x/α)]/α。

2、若G的概率密度分布函数为g(x)；H的概率密度分布函数为h(x)。

u1为G的期望值；u2为H的期望值。

则G+H的概率密度分布函数为：（g(x-u2)+h(x-u1)）/2。

Answer 2

对于不连续的点，当然不能使用导数来求解。这是可导的必要条件。现在我们求取的某点的概率密度。对于连续的点，单点取值为0，即p{X=a}=0。对于不连续的点，要从分布函数的基本性质出发，其中一个很重要的性质就是右连续性（特别说明，有些教材喜欢使用左连续性，你给出的分布函数是具有右连续性，你要清楚）。即 lim(x→x_0+)F(x)=F(x_0) ,因此P｛X=a｝=lim(n→∞)P｛X∈(a-1/n，a]｝=F(a)-F(a-0) .因此用最后这个式子，两个不连续点，你就会求了哈。

追问

麻烦你求一下x=-1和x=1处的f(x)可以嘛

追答

这个你也学得太。。。要不就是我解释得太。。。
F(1)=1（定义的），F(1-0)=lim(x→1-0)（5x/16+7/16）=5/16+7/16=3/4 所以。。。。

追问

不是分布函数，是分布密度
答案是：f(-1)=1/8 f(1)=1/4
不过我不知道是怎么来的。。
你解释的这些我都知道的，但是对解答这个问题好像没什么用。。

追答

在不连续的点的密度不是这么算吗？难道你要按照连续型求导来算，不连续的点是不可导，算法不就是我写的吗？F(1)-F(1-0)=1/4=f(1)，F(-1)-F(-1-0)=1/8-0=1/8=f(-1)。不是很清楚你到底知道了还是没有知道，莫非我要把答案和你答案验证了才算知道吗？！对这个解答没什么用，那你再去看书想想吧。

追问

那我没说错吧，就是计算P{x=-1}=F(-1)-F(-1-0)和P{x=1}=F(1)-F(1-0)吧？但是为什么
P{x=-1}就是f(-1)，我还是不明白啊。。请在指点一下吧，给你追加分数

追答

P｛X=a｝=lim(n→∞)P｛X∈(a-1/n，a]｝=F(a)-F(a-0) .正是这个式子对密度的值给出了最好的解释，表示了X落在a附近之概率大小（有个积分式子可以看得更清楚，但好像积分很难编辑）。而连续函数所拥有的密度函数p(b)的值也是对于随机变量X落在b附近的概率大小的反映（可以自行结合离散分布再理解一下），这就是概率密度函数的本质意义之一。例如：说某个物体局部密度，就是无数强度微元构成的。而连续函数中，密度是均匀变化的，单点概率密度是0；离散的，单点概率密度的微元是突变的，就是列出的这个极限式子的含义吧。