Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a,b,c∈R,满足：①f(-1)=0；②对于任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(x^2+1)/2都成立

求a,b,c的值

Answer 1

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a,b,c∈R,满足：①f(-1)=0；②对于任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(x^2+1)/2都成立，求a,b,c的值
解析：∵二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a,b,c∈R，f(-1)=0
∴f(-1)=a-b+c=0 *
∵对于任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(x^2+1)/2都成立
X=(x^2+1)/2==>x=1
∴点(1,1)是函数f(x),y=x,y=(x^2+1)/2的公共点
∴f(1)=a+b+c=1 **
*+** 得a+c=1/2，*-** 得b=1/2
为了保证f(x),y=x只有一个公共点
令g(x)=f(x)-x= ax^2+(b-1)x+c==>⊿=(b-1)^2-4ac=0
将b=1/2代入上式得ac=1/16
a+c=1/2, ac=1/16联立解得a=c=1/4
∴a=1/4，b=1/2，c=1/4
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4