Question

如图已知在△abc内∠bac=60°∠c=40°pq分别在bcca上并且apbq分别是∠bac∠abc的角平分线求证bq+aq=ab+bp

Answer 1

过P作PR∥BQ交AC于R

∵∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-40°=80°，BQ平分∠ABC，∴∠QBC=80°/2=40°

于是∠QBC=∠C，∴BQ=QC

∵PR∥BQ，∴∠RPC=∠QBC=40°，∴∠RPC=∠C，∴RP=RC

∴∠QRP=∠RPC+∠C=80°，于是∠ARP=∠ABC

又∵∠BAP=∠CAP，AP为公共边，∴△ABP≌△QRP

∴AB=AR、BP=RP=RC

于是BQ+AQ=CQ+AQ=AC=AR+RC=AB+BP

Answer 2

证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，
∠3=∠4=40°=∠C．
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD与△APC中，
AP=AP，
∠1=∠2，∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．