Question

如图，四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD

如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P。若四边形ABCD的面积是18，求DP的长

Answer 1

作DF⊥BC于F；又DP⊥AB∴∠F＝∠DPB＝∠ABC=90°,∴四边形BPDF为矩形∴∠PDF=90°＝∠ADC∵∠ADP＝∠ADC－∠PDC＝∠PDF－∠PDC＝∠CDF,∠APD＝∠F＝90°,AD=CD∴⊿ADP≌⊿CDF(AAS)∴DP=DF∴矩形BPDF为正方形∴18＝四边形ABCD的面积＝S⊿ADP＋S四边形BPDC＝S⊿CDF＋S四边形BPDC＝S正方形BPDF＝DP²∴DP＝3√2

追问

DF不垂直于BF哦，作也不行

追答

作DF⊥BC于F能行，实际上就是小学学过的割补法。

Answer 2

解：作DF垂直于BC的延长线于F点，则四边形PBFD为矩形
∠ADP=∠CDF=90-∠PDF
∠APD=∠CFD=90
AD=CD
△APD≌△CFD（角角边）
DP=DF
四边形ABCDD面积与四边形PBFD的面积相等18，
即DP∧2=18
_
DP=3√2

Answer 3

∠ADC=∠ABC=90°
∵PBFD是正方形
∴∠PDF=∠DPB=∠DFB=90°
∵∠ADC=∠PDF=90°
即∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°
∴∠PDA=∠CDF
∵∠DPA=∠DFC=90°
AD=CD
∴△ADP≌△CDF
∵S△ADP=S△CDF
∵S四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD
S正方形PBFD=S△ADP+S四边形ABFD
∴S正方形PBFD=S四边形ABCD=18
∴PD²=18
PD=3√2