Question

△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于点E。求证:BE=½(AC-AB)

大家凑合看啦！！

Answer 1

解：延长BE交AC于F。
AE既是∠BAC平分线，又是三角形ABF的高，所以三角形ABF是等腰三角形。
AF=AB，BF=2BE ，∠ABF=∠AFB 。（当然也可以证明三角形ABE全等于三角
形AFE，利用AAS证明）
∠AFB=∠C+∠FDC，∠ABC=∠FDC+∠ABF=∠FDC+∠AFB=∠C+2∠FDC。已知
∠ABC=3∠C，得∠C=∠FDC，所以BF=CF=AC-AF=AC-AB。又因为已证BF=2BE
所以BE=1/2（AC-AB）
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Answer 2

延长BE交AC于F。

在三角形ABF中，AE既是角平分线又是BF的高，所以三角形ABF为等腰三角形，AB=AF，BE=FE，∠ABF=∠AFB。
又∠AFB=∠C+∠FBC，根据∠ABC=3∠C得，∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AFB+∠FBC=∠C+2∠FBC=3∠C，所以∠C=∠FBC，故FB=FC。FC=AC-AB，FB=2BE，所以BE=½(AC-AB)。