Question

2016年全国数学联赛的题目

a+b+c=5
a^2+b^2+c^2=15
a^3+b^3+c^3=47
求(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ac+a^2)的值

Answer 1

∵a+b+c=5,a²+b²+c²=15,
∴2(ab+bc+ac)=(a+b+c)²-（a²+b²+c²）=5²-15=10，即ab+bc+ac=5；

∵a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）,
∴47-3abc=5×（15-5）=50，即abc=-1；
则有a²+ab+b²=a²+ab+ac+ab+b²+bc-ab-bc-ac=（a+b）（a+b+c）-（ab+bc+ac）=（5-c）5-5=5（4-c）；
同理，有b²+bc+c²=5（4-b），a²+ac+c²=5（4-c）；
则原式=5×5×5（4-a）（4-b）（4-c）
=125【64-16（a+b+c）+4（ab+bc+ac）-abc】
=125【64-16×5+4×5-（-1）】
=625.

求采纳o(≧v≦)o~~