Question

已知实数m,n,x,y满足m^2+n^2=a,x^2+y^2=b(a不等于b),则mx+ny的最大值是（ ） 用基本不等式做~~

已知实数m,n,x,y满足m^2+n^2=a,x^2+y^2=b(a不等于b),则mx+ny的最大值是（ ）
因为三角函数没有学过啊，所以用基本不等式做，可以么？谢谢~~

Answer 1

解：
利用柯西不等式：
(m²+n²)(x²+y²)≥(mx+ny)²
把m²+n²=a，x²+y²=b代入得
ab≥(mx+ny)²
得mx+ny≤√(ab)
所以mx+ny的最大值为√(ab)

答案：√(ab)

追问

柯西不等式没有学过啊

追答

向量学过吗

追问

没有。我高一，只学了集合，基本不等式，还有部分幂函数的内容。。

追答

∵ (m²+n²)(x²+y²)-(mx+ny)²
=(nx)²+(my)²-2mnxy
=(nx-my)²≥0
∴(m²+n²)(x²+y²)≥(mx+ny)²
把m²+n²=a，x²+y²=b代入得
ab≥(mx+ny)²
得mx+ny≤√(ab)
所以mx+ny的最大值为√(ab)

追问

唉，好吧。。
谢谢你为我证明了一下柯西不等式。。
但问题是，我考试的时候不可能有空的时间去证明这个我知都不知道的不等式啊啊啊！

追答

这种题目一般就三种做法
1、柯西不等式
2、三角代换
3、向量法

Answer 2

柯西不等式是基本吗
﹙mx+ny﹚²≤﹙m^2+n^2﹚﹙x^2+y^2﹚＝ab
最大√ab

追问

不是。。基本不等式就是a^2+b^2大于等于2ab.....

追答

﹙mx+ny﹚²＝m²x²＋n²y²＋2﹙my﹚﹙nx﹚≤m²x²＋n²y²＋m²y²＋n²x²＝﹙m^2+n^2﹚﹙x^2+y^2﹚

追问

好的。。我懂了、谢谢！！！！！
但是，你们是怎么想到会让这个式子平方的呢？
我觉得我可能只会想到分别求mx ,ny的最大值，然后就卡住了。。。

Answer 3

(m^2+n^2)(x^2+y^2)=ab=m^2*x^2+m^2*y^2+x^2*n^2+n^2*y^2
于是有m^2*x^2+n^2*y^2=ab-m^2*y^2-x^2*n^2
代入下式，
（mx+ny）^2=m^2*x^2+n^2*y^2+2mx*ny=ab-m^2*y^2-x^2*n^2+2mx*ny
=ab-(my-xn)^2
因为-(my-xn)^2>=0
所以（mx+ny）^2<=ab
故mx+ny最大值为√ab（即ab的平方根）