Question

可逆线性变换和正交变换有什么区别？

Answer 1

可逆线性变换和正交变换没有区别。当然标准型要求更高一些，变为标准型的过程称为正交变换，感觉正交变换算是非退化的线性替换的一种特殊情况。

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。

注意事项

设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。

若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。

若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。

第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。

Answer 2

（1）可逆线性变换是指一个线性变换可以由另一个线性变换及其逆变换反向操作组成，因此它可以还原原始信号；而正交变换不能还原原始信号，也没有逆变换。

（2）可逆线性变换可以保持信号的信号特性，如功率、相位、信息量等，而正交变换不能满足这一要求。

（3）可逆线性变换可以降低噪声水平，而正交变换不能。