Question

设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|=5，则|-|A^-1|A*|=?

Answer 1

|-|A^-1|A*|是什么意思？
是不是写错了，-|A^-1| |A*|吧

A^-1=|A|^-1=1/5
而AA*=|A|E，
所以|A*|=| |A| A^-1| =|A|^(n-1)=5^(n-1)
于是
-|A^-1| |A*|
= -5^(n-2)

追问

没有错
答案是(-1)^n/5

追答

刚刚没看明白，不好意思
|A^-1|=|A|^-1=1/5
所以
| -|A^-1| A* |
=| -A*/5|
=|-A*| /5^n
而|A*|=| |A| A^-1| =|A|^(n-1)=5^(n-1)，
故
|-A*| /5^n= (-1)^n *5^(n-1) /5^n=(-1)^n /5

追问

怎么突然变成5^n了：
=| -A*/5|
=|-A*| /5^n

追答

这是行列式很基本的一个公式啊
行列式每行或者每列中有公因子的话就可以提到行列式的外面
比如
|2 1 | 1 1
2 3|= 1 3 | *2
在这里
| -A*/5|就相当于把-A*中的每个元素都除以了5，
那么每行或者每列都可以提取一个1/5出来，
所以n*n的行列式就可以提前n个1/5，
即(1/5)^n，

因此
| -A*/5|
=|-A*| /5^n