Question

原题中直接用了等比级数求和公式了，但是原级数的收敛域比那个公式适用范围多了-1，为啥就可以直接用公

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Answer 1

步骤书写稍繁，等比级数求和时的范围还是(-1,1)。看下面的书写步骤。

先考虑幂级数∑x^(n+1)/(n+1)＝T(x)，收敛域是[-1,1)。
逐项求导，T'(x)=∑x^n＝1/(1-x)，范围是(-1,1)。
积分，T(x)=-ln(1-x)，范围是(-1,1)。
然后看x=-1。T(x)在x=-1连续，x=-1又是收敛点，所以根据幂级数的和函数的性质（和函数在收敛域内连续），所以幂级数∑x^(n+1)/(n+1)在x=-1处收敛于T(-1)。
即T(x)=∑x^(n+1)/(n+1)＝-ln(1-x)，-1≤x＜1。

x≠0时，S(x)=T(x)/x＝-ln(1-x)/x。
x=0时，用定义求就是S(0)=a0。用和函数的性质求S(0)，就是S(0)=lim(x→0) S(x)。