Question

已知函数f(x)=x|x|,当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)＞4f(x)恒成立，则实数a

已知函数f(x)=x|x|,当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)＞4f(x)恒成立，则实数a的取值范围是？ 可以试试均值不等式和特值法

Answer 1

1、当x=0时，f(x)=0，对任意x∈R都不存在f(x+2a)>4f(x)；
2、当x>0时，f(x)=x^2。
f(x+2a)>4f(x)即 (x+2a)^2>4x^2
化简得 3x^2-4ax-4a^2<0
即 (x-2a)(3x+2a)<0
若a=0，3x^2<0 不成立；
若a>0，解集为-2a/3<x<2a，于是有：
a>-2a/3且a+1<2a，解得 a>1。
若a<0，解集为2a<x<-2a/3，于是有：
a>2a且a+1<-2a/3，解得a<-3/5。
3、当x<0时，f(x)=-x^2。
f(x+2a)>4f(x)即 -(x+2a)^2>-4x^2
化简得 3x^2-4ax-4a^2>0
即 (x-2a)(3x+2a)>0
若a=0，3x^2>0，解集为x≠0，与所给区间不符；
若a>0，解集为x<-2a/3或x>2a，于是有：
a>2a或a+1<-2a/3，解集与a>0矛盾。
若a<0，解集为x<2a或x>-2a/3，于是有：
a>-2a/3或a+1<2a，解集与a<0矛盾。
所以，综上可得：a的取值范围是a<-3/5或a>1

Answer 2

解：∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数
∴f（x）=x|x|奇函数
当x≥0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得
函数f（x）在R上增函数
又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x·|x|=2x·|2x|=f（2x）
故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，
即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立
即x＜2a恒成立
即a+1＜2a
解得a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）