Question

行列式按行(列)展开定理的证明

定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
大行列式是如何被分解为小行列式的？

Answer 1

设a1j，a2j，…，anj(1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素，而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在D中的代数余子式，则D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj称为行列式D的依列展开。

例如

行列式可按行或列展开，于是每个行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每个元素与它对应元素的代数余子式乘积的和，即

D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ai3Ai3 (i= 1, 2，3) ， (1)

D= a1jA1j+ a2jA2j+ a3jA3j (j=1，2, 3)， (1')

把类似(1)式的展开称为行列式的依行展开式，把(1')式称为行列式的依列展开式

扩展资料

应用行列式的性质计算行列式：

①行列式中两行(列)互换，行列式的值变号。

②行列式的某一行(列)有公因子k，则k可以提取到行列式外。

③若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。

④把行列式的某一行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式的值不变。

应用行列式按行(列)展开定理计算行列式：

n阶行列式等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和。

Answer 2

这是行列式的分拆性质.

若行列式的第i行(列)都是两个元素的和 ai+bi, 则行列式可分拆为两个行列式的和 (ai, bi 分置在两个行列式中, 其余元素不变) 

 

 

多次应用这个性质, 即得那一步 

追问

老师能给下分拆性质的证明么？我在书上找不到

追答

哦 这个用定义即可
D = 和号 (-1)^t(j1j2...jn) a1j1a2j2...aiji...anjn
= 和号 (-1)^t(j1j2...jn) a1j1a2j2...(biji +ciji)...anjn
= 和号 (-1)^t(j1j2...jn) a1j1a2j2...biji ...anjn + 和号 (-1)^t(j1j2...jn) a1j1a2j2...ciji...anjn
= 右式两个行列式的和.