Question

二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正交变换后化为f=y2^2+2y3^2,则a,b 等于多少

结果都是0!是根据二次型对应的矩阵的行列式的值等于它的特征值的乘积吗?我算不出来答案呐

Answer 1

二次型的矩阵 A=

1 a 1

a 1 b

1 b 1

由已知, A的特征值为 0,1,2

所以 |A| = -(a-b)^2 = 0

且 |A-E| = 2ab = 0

所以 a=b=0

历史

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。

西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

Answer 2

二次型的矩阵 A=
1 a 1
a 1 b
1 b 1
由已知, A的特征值为 0,1,2
所以 |A| = -(a-b)^2 = 0
且 |A-E| = 2ab = 0
所以 a=b=0.