Question

已知函数f(x)=Inx+2a/x,a属于R (1)若函数f(x)在[2,+无穷)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f...

已知函数f(x)=Inx+2a/x,a属于R (1)若函数f(x)在[2,+无穷)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3,求实数a的值

Answer 1

【1】
f'x=1/x-2a/x²=0
[x-2a]/x²
x＞2a
函数递增
所以
2a≤2
a≤1
【2】
1.
1≤2a≤e
ln2a+2a/2a=3
ln2a=2
2a=e²
矛盾
2.
2a≤1
函数在[1,e]上递增
最小值=f(1)=In1+2a=3
2a=3大于1，矛盾
3.
2a≥e
函数在[1,e]上递减
最小值=f(e)=Ine+2a/e=3
1+2a/e=3
2a/e=2
2a=2e
a=e
所以
a=e

Answer 2

f(x)'=1/x-2a/x^2
(1)f(x)在[2,+无穷)上是增函数
1/x-2a/x^2≥0在f(x)在[2,+无穷)上成立
2a≤x
a≤1
(2)f(x)'=(x-2a)/x^2
当x=2a<1时，最小至为f(e)=1+2a/e=3
a=e>1 不成立
当1≤2a≤e 最小值f(2a)=3
a=e^2/2 不成立
当2a＞e时，最小值f(1)=2a=3
a=3/2
满足