Question

7.简答题求微分方程 xy'+y=3 满足初始条件 y|_(x=1)=4 的特解.

Answer 1

首先，将微分方程 xy' + y = 3 变形为 y' + y/x = 3/x，这是一个一阶齐次线性微分方程。我们可以使用常数变易法求它的通解。
假设 y = ux，其中 u 是 x 的某个函数。将其带入微分方程，得到：
y' + y/x = 3/x
ux' + u = 3/x
将其化简为：
x du/dx = 3/u - 1
移项得：
u du / (3/u - 1) = dx/x
对等式两侧同时积分，得到：
(3/u - 1) du/u = ln|x| + C1
将 u = y/x 代入，得到：
(3y/x - 1) (dy/y) = dx/x + C1'
对等式两侧同时积分，得到：
ln|y| = ln|x| + 3ln|y| - ln|x| + C2
合并可得：
ln|y| = 2ln|x| + C2
移项得：
y = C|x|^2
根据初始条件，可得 C = 4，因此特解为 y=4x²。
综上所述，微分方程 xy' + y = 3 满足初始条件 y|_(x=1)=4 的特解为 y=4x²。