∫ln(x+1)dx
= x·ln(1+x)-∫xd(ln(x+1))
= x·ln(1+x)-∫(x/(x+1))dx
= x·ln(1+x)-∫(1-1/(x+1))dx
= x·ln(1+x)-x+ln(x+1)+C
所以原函数是 x·ln(1+x)-x+ln(x+1)+C
函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
ln(1+x)原函数是x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C。
解：令f(x)=ln(1+x)，F(x)为f(x)的原函数。那么，
F(x)=∫f(x)dx=∫ln(1+x)dx
=x*ln(1+x)-∫xdln(1+x)
=x*ln(1+x)-∫x/(1+x)dx
=x*ln(1+x)-∫(x+1-1)/(1+x)dx
=x*ln(1+x)-∫1dx+∫1/(1+x)dx
=x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C
即ln(1+x)原函数是x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C。
扩展资料：
1、分部积分法的形式
（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。
例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx
（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。
例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)
=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx
（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C
2、常用的不定积分公式
∫1dx=x+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
∫ln(1+x)dx=xln(1+x)-∫xd[ln(1+x)]
=xln(1+x)-∫x/(1+x)dx
=xln(1+x)-∫1-1/(1+x)dx
=(x+1)ln(1+x)-x+C
错了错了，呼呼呼
