设x、y为实数，求整式5x^2+2y^2-2xy+4x-2y的最小值及取得最小值时x、y的值
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原式=5x²+2y²-2xy+4x-2y=(x²-2xy+y²)+(4x²+4x+1)+(y²-2y+1)-2
=(x-y)²+(2x+1)²+(y-1)²-2=(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²-2
注意到y-x、2x+1、1-y之间满足2(y-x)+(2x+1)+2(1-y)=3
根据柯西不等式：[(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²][2²+1²+2²]≥[2(y-x)+(2x+1)+2(1-y)]²=3²=9
于是(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²≥9/9=1，
原式=(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²-2≥1-2=-1
等号成立的条件：(y-x):2=(2x+1):1=(1-y):2，解得x=-1/3，y=1/3代入后经验证原式=-1
=(x-y)²+(2x+1)²+(y-1)²-2=(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²-2
注意到y-x、2x+1、1-y之间满足2(y-x)+(2x+1)+2(1-y)=3
根据柯西不等式：[(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²][2²+1²+2²]≥[2(y-x)+(2x+1)+2(1-y)]²=3²=9
于是(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²≥9/9=1，
原式=(y-x)²+(2x+1)²+(1-y)²-2≥1-2=-1
等号成立的条件：(y-x):2=(2x+1):1=(1-y):2，解得x=-1/3，y=1/3代入后经验证原式=-1
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