Question

应用函数的单调性证明不等式:tanx>x-(x^3/3),x属于(0.π/3)

Answer 1

令F(x)=tanx-x+x^3 /3
F'(x)=(secx)^2-1+x^2=(tanx)^2+x^2>=0
F(x)在定义域在区间(0.π/3)上单调递增，F(x)>F(0)
F(0)=0
所以有：F(x)>0
即：tanx-x+x^3 /3>0
亦即：tanx>x-(x^3/3),x属于(0.π/3)

Answer 2

设f(x)=tanx-x+(x^3/3),导数(secx)^2-1+x^2在x大于0时恒为正，所以函数在x大于0时单调递增，就有x＞0，f(x)＞f(0)=0，原不等式成立。