Question

设V是数域P上的n维线性空间，W是V的子空间，证明：W是某个线性变换的核。

Answer 1

解：设V是数域P上的n维线性空间，W是V的一个s维子空间，那么，
取定W的一个基：E1，E2，...，Es，
将W的这个基扩充为V的一个基，记为，E1，E2，...，Es，Es+1，...，En

现在我们构造一下从V→V的线性变换Γ，对任意的一个V中的元素X=X1E1 + X2E2 + .. . + XnEn，对应关系如下：
Γ ：V→V
Γ 将X=X1E1 + X2E2 + .. . + XnEn 对应到 元素Xs+1Es+1 + .. . + XnEn
即，将X对应到它的后面的(n-s)个分量里去。

容易验证Γ(X+Y)=Γ(X)+Γ(Y) 任意X，Y属于 V
Γ(kX)=kΓ(X)， 任意k属于数域 P
从而Γ是一个V→V的线性变换。

并且 对任意的X属于W，按以上构造的定义必有Γ(X)=0
因此，我们构造出来的这个线性变换Γ，满足 ker Γ=W

证毕。