Question

全国初中数学竞赛

1．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．
如果令ai，j＝其中i＝1，2，…，50；j＝1，2，…，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为 （ ）
（A）a1,1＋a1,2＋…＋a1,50＋a50,1＋a50,2＋…＋a50,50
（B）a1,1＋a2,1＋…＋a50,1＋a1,50＋a2,50＋…＋a50,50
（C）a1,1a1,50＋a2,1a2,50＋…＋a50,1a50,50

4．若＝＝＝t，则一次函数y＝tx＋t2的图象必定经过的象限是 （ ）
（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限
（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限
5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个
7．函数y＝|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|，当x＝___________时，y有最小值，最小值等于___________．
8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________．

10．设x1，x2，x3，…，x2007为实数，且满足x1x2x3…x2007＝x1－x2x3…x2007＝x1x2－x3…x2007＝…＝x1x2x3…x2006－x2007＝1，则x2000的值是__________．
11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．

（D）a1,1a50,1＋a1,2a50,2＋…＋a1,50a50,50

Answer 1

先做几道：

3.设两条直角边为a,b,则其面积为 ab /2.而周长为a+b+√(a^2+b^2).若要周长为整数，a^2+b^2必须为完全平方数。我们知道，满足a^2+b^2为完全平方数的数组有无穷多个：3k,4k,5k.但还有一个条件，即周长恰好为面积的整数倍。于是有3k+4k+5k=m*6k^2.即12k=6mk^2,mk=2..所以k=1,2.相应地，m=2,1.直角三角形的两边为3，4或6，8.即只有两种情形。选(B).

4.函数的几何意义是数轴上的点x到-1，-2，-3这三个点的伍搏距离之和.,显然，当x=-2时，y有最小值2.

5．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为8.

7.720/（9.2-8）=1800秒。而9.2*1800=16560（厘米）=720*23，所以是在追到23圈时，两鼠相遇在出发的顶点。而走完一条边，快鼠要用120/9.2=13又1/23秒，即在1800-13又1/23=1786又22/23秒时，快鼠在相遇点的后边一个顶点，慢鼠在快鼠前的一条边上，两鼠在同一条边上。

8. 正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数中弯字相同，M的个位是5.所以M可记为□□□...5.
把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新卖橘闷的数N，所以N可记为5□□…□.
若N是M的4倍，所以M的首位只能是1，些时M改记为1□□…5.由于M的第二位与4相乘进1而得N的首位5，所以M的第二位必须是3.
若T是M的最小值，所以M中的其他位数只能是0.即M=13000…0005.而位数最少是三位数，即135.各位数字之和是1+3+5=9.