Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1,其中a>0,若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

要详细过程，越详细越好，不要跳步

Answer 1

在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立，即f(x)在区间[-1/2,1/2]上的最小值大于0。
f'(x)=3ax²-3x<0
x(ax-1)<0
0<x<1/a
（1）0<a≦2时，f(x)在【-1/2,1/2】是的单调性为：【-1/2,0】上递增，【0,1/2】上递减；
所以，f(x)的最小值是f(-1/2)和f(1/2)中较小的那个
f(-1/2)=-a/8-3/8+1>0，得：a<5；
f(1/2)=a/8-3/8+1>0，得：a>-5；
又0<a≦2，所以：0<a≦2
（2）a>2时，f(x)在【-1/2,1/2】是的单调性为：
【-1/2,0】上递增，【0,1/a】上递减，【1/a,1/2]上递增；
所以，f(x)的最小值是f(-1/2)和f(1/a)中较小的那个
f(-1/2)=-a/8-3/8+1>0，得：a<5；
f(1/a)=1/a²-3/2a²+1>0，得：a<-√2/2或a>√2/2；
又a>2，所以：2<a<5；
综上，a的取值范围是：0<a<5

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

为什么导数小于0？

追答

导数小于0是为了确定单调递减区间啊，大于0也可以的，那就是确定递增区间

Answer 2

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1,其中a>0,若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围
解析：因为，函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1,其中a>0,
令f'(x)=3ax^2-3x=0==>x1=0,x2=1/a
f''(x)=6ax-3==>f''(x1)=-3<0,f(x)在x1处取极大值；
f''(x2)=3>0,f(x)在x2处取极小值；
因为a>0==>x2>0
f(-1/2)=-a/8-3/8+1>0==>a<5
f(1/2)=a/8-3/8+1=0==>a>-5
所以，0<a<5