f(x)=x√1-|x|是奇函数还是偶函数?
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我们可以通过函数的定义来判断它是奇函数还是偶函数。
一个函数 f(x) 是奇函数,当且仅当对于任意 x,有 f(-x) = -f(x)。
一个函数 f(x) 是偶函数,当且仅当对于任意 x,有 f(-x) = f(x)。
现在来判断 f(x) = x√(1-|x|) 是奇函数还是偶函数:
首先,我们可以观察到根号下面的表达式 1-|x| 是一个非负数,因为绝对值函数 |x| 的取值范围始终大于等于零。所以 x√(1-|x|) 在定义域内总是有意义的。
考虑奇偶性,我们有:
f(-x) = (-x)√(1-|-x|) = -x√(1-|x|) = -f(x)
由此可见,f(x) = x√(1-|x|) 满足 f(-x) = -f(x),即对于任意 x,都有 f(-x) = -f(x) 成立。
因此,根据定义,f(x) = x√(1-|x|) 是一个奇函数。
一个函数 f(x) 是奇函数,当且仅当对于任意 x,有 f(-x) = -f(x)。
一个函数 f(x) 是偶函数,当且仅当对于任意 x,有 f(-x) = f(x)。
现在来判断 f(x) = x√(1-|x|) 是奇函数还是偶函数:
首先,我们可以观察到根号下面的表达式 1-|x| 是一个非负数,因为绝对值函数 |x| 的取值范围始终大于等于零。所以 x√(1-|x|) 在定义域内总是有意义的。
考虑奇偶性,我们有:
f(-x) = (-x)√(1-|-x|) = -x√(1-|x|) = -f(x)
由此可见,f(x) = x√(1-|x|) 满足 f(-x) = -f(x),即对于任意 x,都有 f(-x) = -f(x) 成立。
因此,根据定义,f(x) = x√(1-|x|) 是一个奇函数。
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这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
一个奇函数满足 f(-x) = -f(x),即关于原点对称;
一个偶函数满足 f(-x) = f(x),即关于y轴对称。
对于这个函数,我们可以分情况讨论:
当 x > 0 时,f(x) = x√(1-x),不满足 f(-x) = -f(x),因此不是奇函数;
当 x < 0 时,f(x) = x√(1+x),也不满足 f(-x) = f(x),因此不是偶函数。
所以,这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
一个奇函数满足 f(-x) = -f(x),即关于原点对称;
一个偶函数满足 f(-x) = f(x),即关于y轴对称。
对于这个函数,我们可以分情况讨论:
当 x > 0 时,f(x) = x√(1-x),不满足 f(-x) = -f(x),因此不是奇函数;
当 x < 0 时,f(x) = x√(1+x),也不满足 f(-x) = f(x),因此不是偶函数。
所以,这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
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