Question

f(x)=xsinx-∫(0~x)(x-t)f(t)dt ,f(x)连续 求f(x) 过程也详细越好！谢谢

Answer 1

f(x)=xsinx - x∫[0→x] f(t)dt + ∫[0→x] tf(t)dt
f(0)=0
f '(x)=sinx + xcosx - ∫[0→x] f(t)dt - xf(x) + xf(x)
=sinx + xcosx - ∫[0→x] f(t)dt
f '(0)=0
f ''(x)=cosx + cosx - xsinx - f(x)
=2cosx-xsinx-f(x)
问题转化为微分方程初值问题：
f ''(x)+f(x)=2cosx-xsinx
f(0)=0，f '(0)=0
特征值法求齐次方程通解为：C1sinx+C2cosx
然后求特解，需要拆成两个微分方程
f ''(x)+f(x)=2cosx
f ''(x)+f(x)=-xsinx
第一个设特解为：x(A1cosx+A2sinx)，解得特解为：xsinx
第二个设特解为：x[(A3x+A4)cosx+(A5x+A6)sinx]，解得特解为：-(1/4)xsinx+(1/4)x²cosx
因此最终得：f(x)=C1sinx+C2cosx+(3/4)xsinx+(1/4)x²cosx
然后代入f(0)=0，f '(0)=0确定C1和C2。

这个题计算量很大。

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

Answer 2

变上限积分的求导，太麻烦的题。