Question

设f（x）=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数，求f(x).

Answer 1

具体回答如下：

f(x) = sinx - ∫(0~x) (x - t) f(t) dt

= sinx - x∫(0~x) f(t) dt + ∫(0~x) tf(t) dt

之后两边对x求导

f'(x) = cosx - [x' · ∫(0~x) f(t) dt + x · f(x)] + xf(x)

f'(x) = cosx - ∫(0~x) f(t) dt，两边再对x求导

f''(x) = - sinx - f(x)
==> y'' + y = - sinx，解微分方程

特征方程：r² + 1 = 0 => r = ±i

y = Acosx + Bsinx

令特解：p = x · (Acosx + Bsinx) = Axcosx + Bxsinx

p'' = - Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx，代入微分方程中

p'' + p = - sinx

(- Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx) + (Axcosx + Bxsinx) = - sinx

- 2Asinx + 2Bcosx = - sinx

解得A = 1/2，B = 0

p = (1/2)xcosx

通解为y = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx

所以f(x) = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx，其中A和B都是任意常数

函数的连续性：

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到 的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x） 的极限都存在且等于f（c）。

我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

Answer 2

f(x) = sinx - ∫(0~x) (x - t) f(t) dt
= sinx - x∫(0~x) f(t) dt + ∫(0~x) tf(t) dt，之后两边对x求导
f'(x) = cosx - [x' · ∫(0~x) f(t) dt + x · f(x)] + xf(x)
f'(x) = cosx - ∫(0~x) f(t) dt，两边再对x求导
f''(x) = - sinx - f(x)
==> y'' + y = - sinx，解微分方程
特征方程：r² + 1 = 0 => r = ±i
y = Acosx + Bsinx
令特解：p = x · (Acosx + Bsinx) = Axcosx + Bxsinx
p'' = - Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx，代入微分方程中
p'' + p = - sinx
(- Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx) + (Axcosx + Bxsinx) = - sinx
- 2Asinx + 2Bcosx = - sinx
解得A = 1/2，B = 0
p = (1/2)xcosx
通解为y = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx
所以f(x) = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx，其中A和B都是任意常数

Answer 3

你确定积分域是0—t不是0—x？

追问

不好意思，是0~x

追答

化简：右边=sinx-x∫(0~x)f(t)dt+∫(0~x)tf(t)dt
然后两边求导可得
∫(0~x)f(t)dt=cosx-f '（x）
再两边求导
得到一个二阶微分方程
怎么解我忘了
同济大学主编的高等数学下册有解法
代入解法中就好了