Question

设f（x）=sinx+∫_{0}^{x}t*f(t)dt -x∫_{0}^{x}f(t)dt ，其中f（x）为连续函数，求f（x）

Answer 1

f(x)=sinx+∫_{0}^{x} t*f(t)dt -x∫_{0}^{x} f(t)dt (1)
两边对x求导得：
f '(x)=cosx+xf(x)-∫_{0}^{x} f(t)dt-xf(x)
即：f '(x)=cosx-∫_{0}^{x} f(t)dt (2)
再求导：f ''(x)=-sinx-f(x)
得微分方程：f ''(x)+f(x)=-sinx
将x=0代入(1)得：f(0)=0
将x=0代入(2)得：f '(0)=1
这是初始条件

微分方程的特征方程为：r²+1=0，解得：r=±1，
齐次方程的通解为：C1cosx+C2sinx
设特解形式为：y*=axsinx+bxcosx
代入微分方程解得：y*=-(1/2)xcosx
微分方程通解为：y=C1cosx+C2sinx-(1/2)xcosx
将初始条件代入得：C1=0，C2=3/2
f(x)=(3/2)sinx-(1/2)xcosx

追问

可是答案是f（x）=1/2（sinx+xcosx）

追答

我将特解解错了，差了个负号，从倒数第四行开始，改为：

代入微分方程解得：y*=(1/2)xcosx
微分方程通解为：y=C1cosx+C2sinx+(1/2)xcosx
将初始条件代入得：C1=0，C2=1/2
f(x)=(1/2)sinx+(1/2)xcosx