Question

如图,在RT三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点O为BC中点,点M N 分别在边AB AC上运动且保持BM=AN

在点M N 运动的过程中 四边形AMON的面积是否发生变化，为什么

Answer 1

不变，分析

O为BC的中点，根据在Rt三角形中，斜边的中点等于斜边的一半可得

OA=OB

又BM=AN且三角形ABC为等边三角形，所以AO为∠BAC的角平分线

所以∠OAC=∠ABO=45度

所以ΔBOM≌ΔAON

所以四边形AMON的面积为ΔAON+ΔAMO=ΔAMO+ΔBOM=ΔBAO的面积，不改变 

Answer 2

不发生变化：
连接AO，分别作OP,OQ垂直于AC,AB于P,Q;
四边形AMON面积等于三角形AON面积加上三角形AOM面积；
由于BM=AN；
又OP=OQ;
所以三角形AON面积等于三角形BOM面积;
所以四边形AMON面积等于三角形BOM面积加上三角形AOM面积
也就是三角形AOB面积
所以是不变化的

Answer 3

S四边形AMON＝S△ABC/2,是定值。
证明：连接AO
∵AB＝AC，∠BAC＝90
∴∠B＝∠C＝45
∵O是BC的中点
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC/2＝45, （三线合一），AO＝BO＝CO （直角三角形中线特性）
∴∠CAO＝∠B
∵BM＝AN
∴△AON≌△BOM （SAS）
∴S△AON＝S△BOM
∴S四边形AMON＝S△AOM+S△AON＝S△AOM+S△BOM＝S△AOB
又∵O是BC的中点
∴S△AOB＝S△ABC/2
∴S四边形AMON＝S△ABC/2