Question

已知:xyz∈R+且x+y+z=1,求证:(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz

该如何证明?

Answer 1

1-x=y+z
1-y=x+z
1-z=x+y
由题意知x>0,y>0,z>0
y+z>=2根号y*根号z
x+z>=2根号x*根号z
y+x>=2根号y*根号x
(1-x)(1-y)(1-z)>=2根号y*根号z*2根号x*根号z*2根号y*根号x=8xyz
即(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz
请采纳

Answer 2

(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+xz+yz)-xyz=(xy+xz+yz)-xyz。

由均值不等式，xy+yz+xz>=3*三次根号(x^2y^2z^2)=3xyz/三次根号(xyz)。
再由均值不等式，x+y+z>=3*三次根号(xyz)，即三次根号(xyz)<=1/3。
因此xy+xz+yz>=3xyz/三次根号(xyz)>=9xyz，即(xy+xz+yz)-xyz>=8xyz，(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz。