Question

极坐标下，积分变限函数如何计算?

Answer 1

|极坐标 x=rcosθ，y=rsinθ下，雅克比行列式，d(x,y)=|偏(x,y)/偏(r,θ)|drdθ，

|偏(x,y)/偏(r,θ)|= cosθ，-rsinθ =r 所以d(x,y)=rdrdθ。

sinθ , rcosθ

因为这是坐标转换问题 x=（r ,θ）y=(r,θ) 现在x=rcosθ，y=rsinθ，在做积分的时候，对坐标的变换雅克比式J=Xr XθYr Yθ ，这是个行列式 = cosθ -rsinθsinθ，rcosθ = rcosθ²+rsinθ²=r。

积分变限函数的拓展应用

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中，事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。