Question

为什么函数的奇数次导数为0,函数才有极值

Answer 1

在一元函数情形下：
一阶导数为零时函数才会是极值可疑点。但这还不够，还需要奇次导数均为零，比如f(x)=x^3在x=0点。虽然f'(0)=0，但f'''(x)=6≠0，因此函数在x=0处不是极值点，而只是个拐点，意为函数凸性改变的点。
在多元情形下：
以二元为例，f(x,y)在某点的一阶偏导数为零时，函数在该点方为极值可疑点，此时应当看函数的海森矩阵的取值情况。海森矩阵正定时，函数在该点为极小值，如函数z=x^2/2p+y^/2q在原点处；负定时，函数在该点取极大值，如z=-(x^2/2p+y^/2q)在原点处（这两种函数图像均为抛物面）；不定时函数在该点非极值如函数z=x^2/2p-y^/2q在原点处（该函数图象为马鞍面，鞍点为原点）。
二元以上的情形较为复杂，不便说明，建议查阅相关书籍。

Answer 2

利用导数的定义，如果，某可导点是极值点。则导数一定为0
但是导数为0，却不一定是极值点。如y=x³
可能极值点：是导数为0的点，或不可导点。
所以通常找极值时，会先求一阶导数f'(x),，令f'(x)=0,解出x，然后，再判断是否是极值点